Recently in 算法 Category

Java次方运算性能测试

| Comments | No TrackBacks

背景:最近工作中使用聚类算法进行数据分类,采用欧氏距离计算特征矢量的相似度,由于数据维度太大,运算比较耗时,除去使用各种办法减小运算次数外,需要对每一行代码进行优化。

由于每次迭代需要上百亿次的平方运算,原来的代码采用的Math.pow的方法进行平方运算,如果这一个步骤每次都可以节省一些时间,那么对于上百亿次的运算来讲,运算时间将大大缩减。

 

采用了三种运算方式,进行对比,结果如下(实验数据使用浮点数):

平方运算(耗时单位:ms):

运算次数/耗时 1亿次 2亿次 4亿次 8亿次 16亿次
Math.pow 1245 2499 5003 9972 19932
StrictMath.pow 1905 3893 7789 15531 31437
x*x 35 69 140 286 549

 

 
三次方运算(耗时单位:ms):
 
运算次数/耗时 1亿次 2亿次 4亿次 8亿次 16亿次
Math.pow 19177 38576 77039 154462 312001
StrictMath.pow 20296 40507 80848 162794 332476
x*x*x 36 70 140 301 587

通过实验结果可以看出,pow的性能在大运算量的情况下不是特别理想。

 

 

作者:Allen Sun

 

布隆过滤器 (Bloom Filter)是由Burton Howard Bloom于1970年提出,它是一种space efficient的概率型数据结构,用于判断一个元素是否在集合中。在垃圾邮件过滤的黑白名单方法、爬虫(Crawler)的网址判重模块中等等经常被用到。哈希表也能用于判断元素是否在集合中,但是布隆过滤器只需要哈希表的1/8或1/4的空间复杂度就能完成同样的问题。布隆过滤器可以插入元素,但不可以删除已有元素。其中的元素越多,false positive rate(误报率)越大,但是false negative (漏报)是不可能的。

 

本文将详解布隆过滤器的相关算法和参数设计,在此之前希望大家可以先通过谷歌黑板报的数学之美系列二十一 - 布隆过滤器(Bloom Filter)来得到些基础知识。

 

 

一. 算法描述

一个empty bloom filter是一个有m bits的bit array,每一个bit位都初始化为0。并且定义有k个不同的hash function,每个都以uniform random distribution将元素hash到m个不同位置中的一个。在下面的介绍中n为元素数,m为布隆过滤器或哈希表的slot数,k为布隆过滤器重hash function数。

 

为了add一个元素,用k个hash function将它hash得到bloom filter中k个bit位,将这k个bit位置1。

 

为了query一个元素,即判断它是否在集合中,用k个hash function将它hash得到k个bit位。若这k bits全为1,则此元素在集合中;若其中任一位不为1,则此元素比不在集合中(因为如果在,则在add时已经把对应的k个bits位置为1)。

 

不允许remove元素,因为那样的话会把相应的k个bits位置为0,而其中很有可能有其他元素对应的位。因此remove会引入false negative,这是绝对不被允许的。

 

当k很大时,设计k个独立的hash function是不现实并且困难的。对于一个输出范围很大的hash function(例如MD5产生的128 bits数),如果不同bit位的相关性很小,则可把此输出分割为k份。或者可将k个不同的初始值(例如0,1,2, … ,k-1)结合元素,feed给一个hash function从而产生k个不同的数。

 

当add的元素过多时,即n/m过大时(n是元素数,m是bloom filter的bits数),会导致false positive过高,此时就需要重新组建filter,但这种情况相对少见。

 

二. 时间和空间上的优势

当可以承受一些误报时,布隆过滤器比其它表示集合的数据结构有着很大的空间优势。例如self-balance BST, tries, hash table或者array, chain,它们中大多数至少都要存储元素本身,对于小整数需要少量的bits,对于字符串则需要任意多的bits(tries是个例外,因为对于有相同prefixes的元素可以共享存储空间);而chain结构还需要为存储指针付出额外的代价。对于一个有1%误报率和一个最优k值的布隆过滤器来说,无论元素的类型及大小,每个元素只需要9.6 bits来存储。这个优点一部分继承自array的紧凑性,一部分来源于它的概率性。如果你认为1%的误报率太高,那么对每个元素每增加4.8 bits,我们就可将误报率降低为原来的1/10。add和query的时间复杂度都为O(k),与集合中元素的多少无关,这是其他数据结构都不能完成的。

 

如果可能元素范围不是很大,并且大多数都在集合中,则使用确定性的bit array远远胜过使用布隆过滤器。因为bit array对于每个可能的元素空间上只需要1 bit,add和query的时间复杂度只有O(1)。注意到这样一个哈希表(bit array)只有在忽略collision并且只存储元素是否在其中的二进制信息时,才会获得空间和时间上的优势,而在此情况下,它就有效地称为了k=1的布隆过滤器。

 

而当考虑到collision时,对于有m个slot的bit array或者其他哈希表(即k=1的布隆过滤器),如果想要保证1%的误判率,则这个bit array只能存储m/100个元素,因而有大量的空间被浪费,同时也会使得空间复杂度急剧上升,这显然不是space efficient的。解决的方法很简单,使用k>1的布隆过滤器,即k个hash function将每个元素改为对应于k个bits,因为误判度会降低很多,并且如果参数k和m选取得好,一半的m可被置为为1,这充分说明了布隆过滤器的space efficient性。

 

三. 举例说明

以垃圾邮件过滤中黑白名单为例:现有1亿个email的黑名单,每个都拥有8 bytes的指纹信息,则可能的元素范围为  clip_image002 ,对于bit array来说是根本不可能的范围,而且元素的数量(即email列表)为 clip_image002[6],相比于元素范围过于稀疏,而且还没有考虑到哈希表中的collision问题。

 

若采用哈希表,由于大多数采用open addressing来解决collision,而此时的search时间复杂度为 :

clip_image002[8]

即若哈希表半满(n/m = 1/2),则每次search需要probe 2次,因此在保证效率的情况下哈希表的存储效率最好不超过50%。此时每个元素占8 bytes,总空间为:

clip_image002[10]

若采用Perfect hashing(这里可以采用Perfect hashing是因为主要操作是search/query,而并不是add和remove),虽然保证worst-case也只有一次probe,但是空间利用率更低,一般情况下为50%,worst-case时有不到一半的概率为25%。

 

若采用布隆过滤器,取k=8。因为n为1亿,所以总共需要 clip_image002[12] 被置位为1,又因为在保证误判率低且k和m选取合适时,空间利用率为50%(后面会解释),所以总空间为:

clip_image002[14]

所需空间比上述哈希结构小得多,并且误判率在万分之一以下。

 

四. 误判概率的证明和计算

假设布隆过滤器中的hash function满足simple uniform hashing假设:每个元素都等概率地hash到m个slot中的任何一个,与其它元素被hash到哪个slot无关。若m为bit数,则对某一特定bit位在一个元素由某特定hash function插入时没有被置位为1的概率为:

clip_image002[16]

则k个hash function中没有一个对其置位的概率为:

clip_image002[18]

如果插入了n个元素,但都未将其置位的概率为:

clip_image002[20]

则此位被置位的概率为:

clip_image002[22]

 

现在考虑query阶段,若对应某个待query元素的k bits全部置位为1,则可判定其在集合中。因此将某元素误判的概率为:

clip_image002[24]

由于 clip_image002[26],并且 clip_image002[28]  当m很大时趋近于0,所以

clip_image002[30]

从上式中可以看出,当m增大或n减小时,都会使得误判率减小,这也符合直觉。

 

现在计算对于给定的m和n,k为何值时可以使得误判率最低。设误判率为k的函数为:

clip_image002[32]

设  clip_image002[34] , 则简化为

clip_image002[36],两边取对数

clip_image002[38]  , 两边对k求导

clip_image002[40]

下面求最值

clip_image002[42]

clip_image002[44] clip_image004

clip_image002[44] clip_image006

clip_image002[44] clip_image008

clip_image002[44] clip_image010

clip_image002[44] clip_image012

clip_image002[44] clip_image014

clip_image002[44] clip_image002[52]

因此,即当 clip_image002[54]  时误判率最低,此时误判率为:

clip_image002[56]

可以看出若要使得误判率≤1/2,则:

clip_image002[58]

这说明了若想保持某固定误判率不变,布隆过滤器的bit数m与被add的元素数n应该是线性同步增加的。

 

五. 设计和应用布隆过滤器的方法

应用时首先要先由用户决定要add的元素数n和希望的误差率P。这也是一个设计完整的布隆过滤器需要用户输入的仅有的两个参数,之后的所有参数将由系统计算,并由此建立布隆过滤器。

 

系统首先要计算需要的内存大小m bits:

clip_image002[60]

 

再由m,n得到hash function的个数:

clip_image002[52]

 

至此系统所需的参数已经备齐,接下来add n个元素至布隆过滤器中,再进行query。

 

根据公式,当k最优时:

clip_image002[66]

clip_image004[8]

因此可验证当P=1%时,存储每个元素需要9.6 bits:

clip_image002[70]

而每当想将误判率降低为原来的1/10,则存储每个元素需要增加4.8 bits:

clip_image002[72]

 

这里需要特别注意的是,9.6 bits/element不仅包含了被置为1的k位,还把包含了没有被置为1的一些位数。此时的

clip_image002[74]

才是每个元素对应的为1的bit位数。

 

clip_image002[76]   从而使得P(error)最小时,我们注意到:

clip_image002[78] 中的 clip_image002[80]  ,即

clip_image002[82]

此概率为某bit位在插入n个元素后未被置位的概率。因此,想保持错误率低,布隆过滤器的空间使用率需为50%。

About this Archive

This page is an archive of recent entries in the 算法 category.

数据分析 is the previous category.

前端 is the next category.

Find recent content on the main index or look in the archives to find all content.

Categories

Pages

  • About
  • Contact
OpenID accepted here Learn more about OpenID
Powered by Movable Type 5.12