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【转】布隆过滤器 (Bloom Filter) 详解

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作者:Allen Sun

 

布隆过滤器 (Bloom Filter)是由Burton Howard Bloom于1970年提出,它是一种space efficient的概率型数据结构,用于判断一个元素是否在集合中。在垃圾邮件过滤的黑白名单方法、爬虫(Crawler)的网址判重模块中等等经常被用到。哈希表也能用于判断元素是否在集合中,但是布隆过滤器只需要哈希表的1/8或1/4的空间复杂度就能完成同样的问题。布隆过滤器可以插入元素,但不可以删除已有元素。其中的元素越多,false positive rate(误报率)越大,但是false negative (漏报)是不可能的。

 

本文将详解布隆过滤器的相关算法和参数设计,在此之前希望大家可以先通过谷歌黑板报的数学之美系列二十一 - 布隆过滤器(Bloom Filter)来得到些基础知识。

 

 

一. 算法描述

一个empty bloom filter是一个有m bits的bit array,每一个bit位都初始化为0。并且定义有k个不同的hash function,每个都以uniform random distribution将元素hash到m个不同位置中的一个。在下面的介绍中n为元素数,m为布隆过滤器或哈希表的slot数,k为布隆过滤器重hash function数。

 

为了add一个元素,用k个hash function将它hash得到bloom filter中k个bit位,将这k个bit位置1。

 

为了query一个元素,即判断它是否在集合中,用k个hash function将它hash得到k个bit位。若这k bits全为1,则此元素在集合中;若其中任一位不为1,则此元素比不在集合中(因为如果在,则在add时已经把对应的k个bits位置为1)。

 

不允许remove元素,因为那样的话会把相应的k个bits位置为0,而其中很有可能有其他元素对应的位。因此remove会引入false negative,这是绝对不被允许的。

 

当k很大时,设计k个独立的hash function是不现实并且困难的。对于一个输出范围很大的hash function(例如MD5产生的128 bits数),如果不同bit位的相关性很小,则可把此输出分割为k份。或者可将k个不同的初始值(例如0,1,2, … ,k-1)结合元素,feed给一个hash function从而产生k个不同的数。

 

当add的元素过多时,即n/m过大时(n是元素数,m是bloom filter的bits数),会导致false positive过高,此时就需要重新组建filter,但这种情况相对少见。

 

二. 时间和空间上的优势

当可以承受一些误报时,布隆过滤器比其它表示集合的数据结构有着很大的空间优势。例如self-balance BST, tries, hash table或者array, chain,它们中大多数至少都要存储元素本身,对于小整数需要少量的bits,对于字符串则需要任意多的bits(tries是个例外,因为对于有相同prefixes的元素可以共享存储空间);而chain结构还需要为存储指针付出额外的代价。对于一个有1%误报率和一个最优k值的布隆过滤器来说,无论元素的类型及大小,每个元素只需要9.6 bits来存储。这个优点一部分继承自array的紧凑性,一部分来源于它的概率性。如果你认为1%的误报率太高,那么对每个元素每增加4.8 bits,我们就可将误报率降低为原来的1/10。add和query的时间复杂度都为O(k),与集合中元素的多少无关,这是其他数据结构都不能完成的。

 

如果可能元素范围不是很大,并且大多数都在集合中,则使用确定性的bit array远远胜过使用布隆过滤器。因为bit array对于每个可能的元素空间上只需要1 bit,add和query的时间复杂度只有O(1)。注意到这样一个哈希表(bit array)只有在忽略collision并且只存储元素是否在其中的二进制信息时,才会获得空间和时间上的优势,而在此情况下,它就有效地称为了k=1的布隆过滤器。

 

而当考虑到collision时,对于有m个slot的bit array或者其他哈希表(即k=1的布隆过滤器),如果想要保证1%的误判率,则这个bit array只能存储m/100个元素,因而有大量的空间被浪费,同时也会使得空间复杂度急剧上升,这显然不是space efficient的。解决的方法很简单,使用k>1的布隆过滤器,即k个hash function将每个元素改为对应于k个bits,因为误判度会降低很多,并且如果参数k和m选取得好,一半的m可被置为为1,这充分说明了布隆过滤器的space efficient性。

 

三. 举例说明

以垃圾邮件过滤中黑白名单为例:现有1亿个email的黑名单,每个都拥有8 bytes的指纹信息,则可能的元素范围为  clip_image002 ,对于bit array来说是根本不可能的范围,而且元素的数量(即email列表)为 clip_image002[6],相比于元素范围过于稀疏,而且还没有考虑到哈希表中的collision问题。

 

若采用哈希表,由于大多数采用open addressing来解决collision,而此时的search时间复杂度为 :

clip_image002[8]

即若哈希表半满(n/m = 1/2),则每次search需要probe 2次,因此在保证效率的情况下哈希表的存储效率最好不超过50%。此时每个元素占8 bytes,总空间为:

clip_image002[10]

若采用Perfect hashing(这里可以采用Perfect hashing是因为主要操作是search/query,而并不是add和remove),虽然保证worst-case也只有一次probe,但是空间利用率更低,一般情况下为50%,worst-case时有不到一半的概率为25%。

 

若采用布隆过滤器,取k=8。因为n为1亿,所以总共需要 clip_image002[12] 被置位为1,又因为在保证误判率低且k和m选取合适时,空间利用率为50%(后面会解释),所以总空间为:

clip_image002[14]

所需空间比上述哈希结构小得多,并且误判率在万分之一以下。

 

四. 误判概率的证明和计算

假设布隆过滤器中的hash function满足simple uniform hashing假设:每个元素都等概率地hash到m个slot中的任何一个,与其它元素被hash到哪个slot无关。若m为bit数,则对某一特定bit位在一个元素由某特定hash function插入时没有被置位为1的概率为:

clip_image002[16]

则k个hash function中没有一个对其置位的概率为:

clip_image002[18]

如果插入了n个元素,但都未将其置位的概率为:

clip_image002[20]

则此位被置位的概率为:

clip_image002[22]

 

现在考虑query阶段,若对应某个待query元素的k bits全部置位为1,则可判定其在集合中。因此将某元素误判的概率为:

clip_image002[24]

由于 clip_image002[26],并且 clip_image002[28]  当m很大时趋近于0,所以

clip_image002[30]

从上式中可以看出,当m增大或n减小时,都会使得误判率减小,这也符合直觉。

 

现在计算对于给定的m和n,k为何值时可以使得误判率最低。设误判率为k的函数为:

clip_image002[32]

设  clip_image002[34] , 则简化为

clip_image002[36],两边取对数

clip_image002[38]  , 两边对k求导

clip_image002[40]

下面求最值

clip_image002[42]

clip_image002[44] clip_image004

clip_image002[44] clip_image006

clip_image002[44] clip_image008

clip_image002[44] clip_image010

clip_image002[44] clip_image012

clip_image002[44] clip_image014

clip_image002[44] clip_image002[52]

因此,即当 clip_image002[54]  时误判率最低,此时误判率为:

clip_image002[56]

可以看出若要使得误判率≤1/2,则:

clip_image002[58]

这说明了若想保持某固定误判率不变,布隆过滤器的bit数m与被add的元素数n应该是线性同步增加的。

 

五. 设计和应用布隆过滤器的方法

应用时首先要先由用户决定要add的元素数n和希望的误差率P。这也是一个设计完整的布隆过滤器需要用户输入的仅有的两个参数,之后的所有参数将由系统计算,并由此建立布隆过滤器。

 

系统首先要计算需要的内存大小m bits:

clip_image002[60]

 

再由m,n得到hash function的个数:

clip_image002[52]

 

至此系统所需的参数已经备齐,接下来add n个元素至布隆过滤器中,再进行query。

 

根据公式,当k最优时:

clip_image002[66]

clip_image004[8]

因此可验证当P=1%时,存储每个元素需要9.6 bits:

clip_image002[70]

而每当想将误判率降低为原来的1/10,则存储每个元素需要增加4.8 bits:

clip_image002[72]

 

这里需要特别注意的是,9.6 bits/element不仅包含了被置为1的k位,还把包含了没有被置为1的一些位数。此时的

clip_image002[74]

才是每个元素对应的为1的bit位数。

 

clip_image002[76]   从而使得P(error)最小时,我们注意到:

clip_image002[78] 中的 clip_image002[80]  ,即

clip_image002[82]

此概率为某bit位在插入n个元素后未被置位的概率。因此,想保持错误率低,布隆过滤器的空间使用率需为50%。

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